溯源：复空间内积中的共轭

线性代数教材上有一个乍看之下很难理解的现象。

按数学中常见的习惯，$n$ 维复空间 $\mathbb{C}^n$ 上的标准内积 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 定义为：

而同时有 Hermite 二次型的定义：

这两个本该密切相关的定义，却在不同的元素上取了共轭 —— 对于内积，是后面的 $v_k$；对于二次型，是前面的 $u_j$。

当然也可以采用另一组定义，在此定义下 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ 和 $f(\mathbf{u})$ 中取共轭的元素都变成了另一个，上面看到的“不一致性”仍然存在。

于是在这个奇怪的问题上纠结了很久，有了一些奇妙的想法，详细记录在此。

未加说明的情况下，约定：

• $u_k$，$v_k$ 分别表示 $\mathbb{C}^n$ 中向量 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$ 的第 $k$ 维分量；
• $a_{j,k}$ 表示正定 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列元素。

简单的解释

事实上，$\langle \mathbf{\mathbf{u}}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{u}$，而 $f(\mathbf{u}) = \mathbf{u}^\mathsf{H}\mathbf{A}\mathbf{u}$，所以它们同为广义的二次型 $Q_\mathbf{A}(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{A}\mathbf{u}$ 的特例。

至于取共轭的“位置”不同，不过是写法造成的假象而已。改成下面的形式便一目了然。

（其中 Kronecker 函数 $\delta_{j,k}$ 等于单位阵 $\mathbf{I}$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列元素。）

复杂的解释

$\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{A}\mathbf{u}$ 这个形式当然不是拍脑袋乱写的，数学家偏爱这个形式，其背后还有更本质的原因。［物理学上的习惯似乎是相反的，不过那样的原因（量子力学的 Dirac 符号）就与本文无关啦。］

为什么有共轭和共轭对称？

首先，标准内积里为什么有共轭？

回头看实空间上的点积，它实质上是 Euclid 范数 $\Vert \mathbf{u} \Vert^2 = \sum_k u_k^2$ 推广到两个向量的情形。

而在复空间上也需要有一个类似物，它需要满足正定性 $\Vert \mathbf{u} \Vert^2 \geq 0$。在一维情形下，复数的模 $|z|^2 = z \cdot \overline {z\raisebox{0.67em}{}}$ 当然是首选的定义。将其推广至 $n$ 维，即可定义 $\Vert \mathbf{u} \Vert^2 = \sum_k |u_k|^2 = u_k \cdot \overline {u_k\raisebox{0.67em}{}}$。共轭就是从这里产生的。

换一个角度，内积为什么满足的是共轭对称性 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline {\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle \raisebox{0.82em}{}}$，而非对称性 $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$？

不妨回到标准内积，试着把表达式中的实部与虚部分开。

可以发现，实部 $\operatorname{Re} {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}$ 相当于 $n$ 个 $\mathbb{R}^2$ 上的点积之和；而虚部 $\operatorname{Im} {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}$ 则等于 $n$ 个 $\mathbb{R}^2$ 上的叉积之和，刻画了由 $\mathbf{v}$ 到 $\mathbf{u}$ 在“$n$ 维复空间中的旋转角度”—— 例如当两个向量每一维分量的幅角均相等时，$\operatorname{Im} {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} = 0$；当 $\mathbf{u}$ 每一维分量的幅角均为 $\mathbf{v}$ 对应分量逆时针旋转 $90$ 度时，$\operatorname{Im} {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}$ 取到最大值 $\Vert \mathbf{u} \Vert \cdot \Vert \mathbf{v} \Vert$。

而在更一般的内积定义中，自然也希望结果的实部和虚部分别有对应的性质。共轭对称性正是来源于叉积的反交换律，或者更广义的“复空间中的旋转角度”之反交换律。

这么看，“共轭”的性质确实很优秀呢。

为什么共轭取在第二个向量上？

要解决这个问题，不得不探寻内积的另一层本质，而从最简单的点积开始总是不会错的。点积的本质是什么？

当然可以说，它表示“$\mathbf{u}$ 在 $\mathbf{v}$ 上的投影乘上 $\mathbf{v}$ 的原长”，但这并不够深入。

3Blue1Brown 在视频^🪐里详细论述了一个观点：点积是将由 $\mathbf{v}$ 定义的一个 $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的线性变换作用在了 $\mathbf{u}$ 上。这个变换将任一向量 $\mathbf{u}$ 变换为一个标量 $\mathbf{v}^\mathsf{T}\mathbf{u}$。

在这个视角下，一个内积函数与一个向量也能共同确定一个线性变换。也就是说，“内积”是一个将向量映射到一个线性变换的算子。从更加抽象的角度看，这相当于一次函数部分求值（Curry 化）：二元函数 $\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}$ 可以视作将某一参数映射到一个一元函数的算子 $\mathbb{C}^n \rightarrow (\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C})$。

一个正定 Hermite 矩阵 $\mathbf{A}$ 便定义了这样一个线性算子，它将一个向量 $\mathbf{v}$ 映射为 $\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{A}$ 在自然基下所对应的线性变换。将这个变换作用于 $\mathbf{u}$，即是之前所见的 $\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{A}\mathbf{u}$ 这一形式。它实际上也是 $\mathbb{C}^n$ 上内积的一般形式（Hermite 形式）。

从而共轭之所以取在 $\mathbf{v}$ 上，是因为我们希望 $\mathbf{u}$ 作为被变换的元素保留其原始状态，而将所有的运算放进 $\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}$ 这个线性变换中去。至于 $\mathbf{u}$ 放在 $\mathbf{v}$ 前面的原因，大概也是觉得“先写被变换的元素，再指出变换”在这个二元运算当中比较符合直觉吧。